onsdag 15 december 2010
WEBBQUIZ 2 (äntligen)
Sent omsider finns nu WEBBQUIZ 2 här. Gör det och ta det som en övning inför provet!
torsdag 9 december 2010
Vecka 49 - Deriveringsregler
Hittills har vi lärt oss hur man bestämmer derivatans värde för ett visst x-värde.
Till exempel kan vi bestämma f '(3) och då menar vi derivatans värde (dvs tangentens k-värde) när x = 3. Det har vi gjort genom att ställa upp differenskvoten och låta h gå mot noll, vilket också kallas att använda derivatans definition.
Men om vi stället för att sätta in x = 3 som i exemplet ovan, sätter in x = x så kan vi beräkna derivatans värde för alla möjliga x-värden på en gång. Om vi gör det för funktionen y = f(x) = x2 så ser det ut så här:
Alltså är f '(x) = 2x, vilket ger oss möjlighet att snabbt beräkna derivatans värde för vilket x som helst, till exempel x = 5: f '(5) = 2 * 5 = 10
Det var ju bra, men nu blir det ännu bättre!
Om vi gör det här för polynomfunktioner (läs här om vad det är för nåt) så upptäcker vi ett mönster. Läs om det i boken på sidan 107 och kolla på exemplen. Detta innebär att i fortsättningen blir det jättelätt att derivera polynomfunktioner. Som tur var så är sådana funktioner dessutom de vanligaste, i alla fall här i skolan ...
För den som känner att det är lite darrigt med förståelsen av derivata har jag ett råd: Häng på det här med deriveringreglerna för polynom och ha inte för mycket ångest över differenskvoten och derivatans definition. När förståelsen för derivata har ökat efter kapitel 3 så går det lättare att titta tillbaka på det här med lite perspektiv.
Att läsa och titta på
Boken sid 105-111
En kort videolektion från mattecentrum finns här.
Till exempel kan vi bestämma f '(3) och då menar vi derivatans värde (dvs tangentens k-värde) när x = 3. Det har vi gjort genom att ställa upp differenskvoten och låta h gå mot noll, vilket också kallas att använda derivatans definition.
Men om vi stället för att sätta in x = 3 som i exemplet ovan, sätter in x = x så kan vi beräkna derivatans värde för alla möjliga x-värden på en gång. Om vi gör det för funktionen y = f(x) = x2 så ser det ut så här:
Alltså är f '(x) = 2x, vilket ger oss möjlighet att snabbt beräkna derivatans värde för vilket x som helst, till exempel x = 5: f '(5) = 2 * 5 = 10
Det var ju bra, men nu blir det ännu bättre!
Om vi gör det här för polynomfunktioner (läs här om vad det är för nåt) så upptäcker vi ett mönster. Läs om det i boken på sidan 107 och kolla på exemplen. Detta innebär att i fortsättningen blir det jättelätt att derivera polynomfunktioner. Som tur var så är sådana funktioner dessutom de vanligaste, i alla fall här i skolan ...
För den som känner att det är lite darrigt med förståelsen av derivata har jag ett råd: Häng på det här med deriveringreglerna för polynom och ha inte för mycket ångest över differenskvoten och derivatans definition. När förståelsen för derivata har ökat efter kapitel 3 så går det lättare att titta tillbaka på det här med lite perspektiv.
Att läsa och titta på
Boken sid 105-111
En kort videolektion från mattecentrum finns här.
torsdag 2 december 2010
Vecka 48 - Derivatans definition
Det vi skall ägna oss åt de närmsta veckorna är att hitta derivatan i en viss punkt för en känd funktion.
Exempelvis skall vi kunna svara på frågan vad funktionen f(x) = 3x2 har för lutning när x = 3. Eller med andra ord f '(3).
Här en graf som illustrerar ovanstående:
Tricket går ut på att ställa upp differenskvoten och låta h gå mot noll. Jag skriver inte ner hela proceduren här, men kan påpeka att differenskvoten är gamla vanliga delta-y/delta-x. Det som händer är att man beräknar k-värdet för en sekant och när man låter h (dvs delta-x) gå mot nåll så övergår det till k-värdet för tangenten, dvs derivatan.
Titta här, prova och förstå!
Det kommer att komma "genvägar" för att göra det här lite enklare, och jag kräver inte att alla skall kunna utföra derivering på det här sättet via derivatans definition. Men jag vill ändå att alla skall vara med på grunderna. Dvs att allt bygger på delta-y/delta-x och att delta-x går mot noll, och att man poå det viset hittar tangentens lutning.
Titta gärna på den här filmen där jag löser uppgift 2219b samtidigt som jag kommenterar. Där bestämmer jag derivatan för funktionen f(x) = x2 - 3x när x = -1.
I högermenyn kan ni också hitta skrivna uträkningar för 2219a och 2219b
Att läsa
Boken sid 102-104
Exempelvis skall vi kunna svara på frågan vad funktionen f(x) = 3x2 har för lutning när x = 3. Eller med andra ord f '(3).
Här en graf som illustrerar ovanstående:
Tricket går ut på att ställa upp differenskvoten och låta h gå mot noll. Jag skriver inte ner hela proceduren här, men kan påpeka att differenskvoten är gamla vanliga delta-y/delta-x. Det som händer är att man beräknar k-värdet för en sekant och när man låter h (dvs delta-x) gå mot nåll så övergår det till k-värdet för tangenten, dvs derivatan.
Titta här, prova och förstå!
Det kommer att komma "genvägar" för att göra det här lite enklare, och jag kräver inte att alla skall kunna utföra derivering på det här sättet via derivatans definition. Men jag vill ändå att alla skall vara med på grunderna. Dvs att allt bygger på delta-y/delta-x och att delta-x går mot noll, och att man poå det viset hittar tangentens lutning.
Titta gärna på den här filmen där jag löser uppgift 2219b samtidigt som jag kommenterar. Där bestämmer jag derivatan för funktionen f(x) = x2 - 3x när x = -1.
I högermenyn kan ni också hitta skrivna uträkningar för 2219a och 2219b
Att läsa
Boken sid 102-104
torsdag 25 november 2010
Vecka 47 - Begreppet derivata
Tangentens lutning i en viss punkt kan också kallas funktionens derivata i den punkten. Beroende på vilken funktion det handlar om så kommer derivatans värde att betyda något intressant.
Till exempel så står derivatans värde för en hastighet, om funktionen är en beskrivning av läge eller sträcka.
Om funktionen beskriver en temperatur så står derivatan för hur snabbt temperaturen ändras. Till exempel 3 grader/timme.
Man kan ge många exempel men i grunden handlar det om förändring. Derivatan står för hur stor förändringshastigheten är.
Det finns ett kompakt och bra sätt att skriva om derivatan: - en liten fnutt! (Egentligen heter det "prim".) Exempelvis om vi vill säga "Derivatan av funktionen f(x) har värdet 3 när x = 2" så kan vi istället skriva
f '(2) = 3
Det uttalar vi som "f-prim av två är lika med tre".
Detta är typiskt för språket matematiska, vi kan skriva en svensk mening på ett mycket kompaktare sätt, vilket underlättar bl a för vidare beräkningar. Mycket av vår undervisning här på gymnasiet handlar om att utbilda eleverna i matematiska.
Den här veckan jobbar vi inte med att bestämma derivatan (tangentens lutning) utan bara om vad den betyder. Nästa vecka däremot skall vi se hur vi kan beräkna derivatan för en viss funktion.
Jag har samlat ihop några uppgifter från nationella prov som handlar om just den här veckans kunskapsområden. De som var på lektionen fick ett exemplar, ni andra kan hitta dom här.
Att läsa
Boken sid 98-101
Till exempel så står derivatans värde för en hastighet, om funktionen är en beskrivning av läge eller sträcka.
Om funktionen beskriver en temperatur så står derivatan för hur snabbt temperaturen ändras. Till exempel 3 grader/timme.
Man kan ge många exempel men i grunden handlar det om förändring. Derivatan står för hur stor förändringshastigheten är.
Det finns ett kompakt och bra sätt att skriva om derivatan: - en liten fnutt! (Egentligen heter det "prim".) Exempelvis om vi vill säga "Derivatan av funktionen f(x) har värdet 3 när x = 2" så kan vi istället skriva
f '(2) = 3
Det uttalar vi som "f-prim av två är lika med tre".
Detta är typiskt för språket matematiska, vi kan skriva en svensk mening på ett mycket kompaktare sätt, vilket underlättar bl a för vidare beräkningar. Mycket av vår undervisning här på gymnasiet handlar om att utbilda eleverna i matematiska.
Den här veckan jobbar vi inte med att bestämma derivatan (tangentens lutning) utan bara om vad den betyder. Nästa vecka däremot skall vi se hur vi kan beräkna derivatan för en viss funktion.
Jag har samlat ihop några uppgifter från nationella prov som handlar om just den här veckans kunskapsområden. De som var på lektionen fick ett exemplar, ni andra kan hitta dom här.
Att läsa
Boken sid 98-101
torsdag 18 november 2010
Vecka 46 - Kurvors lutning
Vi börjar med att diskutera hur ett så kallat st-diagram fungerar. Det är ett koordinatsystem där sträckan finns på y-axeln och tiden på x-axeln. Med hjälp av ett sådant kan man beskriva ett föremåls rörelse. Vi intresserar oss särskilt för hur kurvan lutar och om man funderar lite på saken så inser man att ju större lutning en sådan kurva har, ju snabbare rör sig föremålet. Dvs lutningen motsvarar hastigheten.
(Stora delar av C-kursen går ut på att studera sådana lutningar, även om det inte alltid är just st-diagram.)
Bestämma lutningen grafiskt
Vi studerar också hur en tangent till kurvan kan användas för att beräkna lutningens storlek. Om man drar en tangent i en punkt på kurvan så är tangentens k-värde samma som kurvans lutning. Vi gör en övning på just detta där klassen får ut en st-graf och bestämmer en löpares maximala hastighet på detta sätt.
Här är ett annat exempel på samma sak:
Bestämma lutningen algebraiskt
Men hur skall man göra om man vill räkna ut vad lutningen är i en viss punkt, inte rita och mäta. Vi kallar det att algebraiskt bestämma lutningen och här ger vi början till resonemanget.
Antag att vi är ute efter lutningen av kurvan i punkten A, dvs egentligen tangenten i A. Börja då med att dra en sekant mellan A och en annan punkt på kurvan som i figuren (klicka för tydligare bild). Man beräknar k-värdet för sekanten med hjälp av delta-y/delta-x som ni ser.
Hur skall vi då få k-värdet för tangenten? Jo, tricket är att minska delta-x undan för undan vilket gör att sekantens k-värde närmar sig tangentens mer och mer. (I bilden har man också döpt om delta-x till h.)
Klicka här och testa detta!
Att läsa
Boken sidan 91-97
(Stora delar av C-kursen går ut på att studera sådana lutningar, även om det inte alltid är just st-diagram.)
Bestämma lutningen grafiskt
Vi studerar också hur en tangent till kurvan kan användas för att beräkna lutningens storlek. Om man drar en tangent i en punkt på kurvan så är tangentens k-värde samma som kurvans lutning. Vi gör en övning på just detta där klassen får ut en st-graf och bestämmer en löpares maximala hastighet på detta sätt.
Här är ett annat exempel på samma sak:
Bestämma lutningen algebraiskt
Men hur skall man göra om man vill räkna ut vad lutningen är i en viss punkt, inte rita och mäta. Vi kallar det att algebraiskt bestämma lutningen och här ger vi början till resonemanget.
Antag att vi är ute efter lutningen av kurvan i punkten A, dvs egentligen tangenten i A. Börja då med att dra en sekant mellan A och en annan punkt på kurvan som i figuren (klicka för tydligare bild). Man beräknar k-värdet för sekanten med hjälp av delta-y/delta-x som ni ser.
Hur skall vi då få k-värdet för tangenten? Jo, tricket är att minska delta-x undan för undan vilket gör att sekantens k-värde närmar sig tangentens mer och mer. (I bilden har man också döpt om delta-x till h.)
Klicka här och testa detta!
Att läsa
Boken sidan 91-97
torsdag 11 november 2010
Vecka 45 - Hastighet och lutning
Provet
Vi pratar om provet, och alla får se sitt eget förstås.
Nu kommer vi att gå vidare med nästa moment och det är viktigt att man är med på banan från början. Men vi skall ändå inte glömma bort det här, och jag vill att alla skall kunna de viktigaste sakerna från kapitel 1. Därför kommer det att bli en läxa att göra de av provuppgifterna 1-5 som man inte kunde på provet. Gör beräkningarna snyggt på ett papper och lämna in till mig inom två veckor. Ni får ett FirstClass-meddelande om vilka uppgifter jag vill att ni skall göra.
Det blir en liknande manöver om logaritmer och exponentialekvationer senare i december.
Hastighet och lutning
Nu börjar det som kanske är C-kursens huvudnummer, nämligen att vi kommer att studera förändring! Lite oklart beskrivet kanske men det klarnar snart.
Det första vi gör är uppgiften på sidan 85, hastighet och lutning, och det första avsnittet i boken heter genomsnittlig förändringshastighet. Vi kommer alltså först att titta på hur fört saker förändras i genomsnitt under en viss tid. Det kan exempelvis vara temperaturen i en ugn som stiger med 20 grader/minut i genomsnitt under de första 5 minuterna.
Om ett par veckor kommer det istället att handla om hur snabb ökningstakten är vid någon precis tidpunkt.
Den som inte var på lektionen bör göra sidan 85 som hemläxa. Dessutom är det bra om ni gör några av veckans övningsuppgifter också. Och, läs boken vetja! För dig som inte brukar läsa matteboken är det dags att börja. Låt det ta tid, det får ta en timme att läsa tre sidor så att du förstår, men jag lovar att det ger resultat.
Att läsa
Boken sid 85-90
Vi pratar om provet, och alla får se sitt eget förstås.
Nu kommer vi att gå vidare med nästa moment och det är viktigt att man är med på banan från början. Men vi skall ändå inte glömma bort det här, och jag vill att alla skall kunna de viktigaste sakerna från kapitel 1. Därför kommer det att bli en läxa att göra de av provuppgifterna 1-5 som man inte kunde på provet. Gör beräkningarna snyggt på ett papper och lämna in till mig inom två veckor. Ni får ett FirstClass-meddelande om vilka uppgifter jag vill att ni skall göra.
Det blir en liknande manöver om logaritmer och exponentialekvationer senare i december.
Hastighet och lutning
Nu börjar det som kanske är C-kursens huvudnummer, nämligen att vi kommer att studera förändring! Lite oklart beskrivet kanske men det klarnar snart.
Det första vi gör är uppgiften på sidan 85, hastighet och lutning, och det första avsnittet i boken heter genomsnittlig förändringshastighet. Vi kommer alltså först att titta på hur fört saker förändras i genomsnitt under en viss tid. Det kan exempelvis vara temperaturen i en ugn som stiger med 20 grader/minut i genomsnitt under de första 5 minuterna.
Om ett par veckor kommer det istället att handla om hur snabb ökningstakten är vid någon precis tidpunkt.
Den som inte var på lektionen bör göra sidan 85 som hemläxa. Dessutom är det bra om ni gör några av veckans övningsuppgifter också. Och, läs boken vetja! För dig som inte brukar läsa matteboken är det dags att börja. Låt det ta tid, det får ta en timme att läsa tre sidor så att du förstår, men jag lovar att det ger resultat.
Att läsa
Boken sid 85-90
måndag 8 november 2010
Prenumerera på:
Inlägg (Atom)