onsdag 15 december 2010
WEBBQUIZ 2 (äntligen)
Sent omsider finns nu WEBBQUIZ 2 här. Gör det och ta det som en övning inför provet!
torsdag 9 december 2010
Vecka 49 - Deriveringsregler
Hittills har vi lärt oss hur man bestämmer derivatans värde för ett visst x-värde.
Till exempel kan vi bestämma f '(3) och då menar vi derivatans värde (dvs tangentens k-värde) när x = 3. Det har vi gjort genom att ställa upp differenskvoten och låta h gå mot noll, vilket också kallas att använda derivatans definition.
Men om vi stället för att sätta in x = 3 som i exemplet ovan, sätter in x = x så kan vi beräkna derivatans värde för alla möjliga x-värden på en gång. Om vi gör det för funktionen y = f(x) = x2 så ser det ut så här:
Alltså är f '(x) = 2x, vilket ger oss möjlighet att snabbt beräkna derivatans värde för vilket x som helst, till exempel x = 5: f '(5) = 2 * 5 = 10
Det var ju bra, men nu blir det ännu bättre!
Om vi gör det här för polynomfunktioner (läs här om vad det är för nåt) så upptäcker vi ett mönster. Läs om det i boken på sidan 107 och kolla på exemplen. Detta innebär att i fortsättningen blir det jättelätt att derivera polynomfunktioner. Som tur var så är sådana funktioner dessutom de vanligaste, i alla fall här i skolan ...
För den som känner att det är lite darrigt med förståelsen av derivata har jag ett råd: Häng på det här med deriveringreglerna för polynom och ha inte för mycket ångest över differenskvoten och derivatans definition. När förståelsen för derivata har ökat efter kapitel 3 så går det lättare att titta tillbaka på det här med lite perspektiv.
Att läsa och titta på
Boken sid 105-111
En kort videolektion från mattecentrum finns här.
Till exempel kan vi bestämma f '(3) och då menar vi derivatans värde (dvs tangentens k-värde) när x = 3. Det har vi gjort genom att ställa upp differenskvoten och låta h gå mot noll, vilket också kallas att använda derivatans definition.
Men om vi stället för att sätta in x = 3 som i exemplet ovan, sätter in x = x så kan vi beräkna derivatans värde för alla möjliga x-värden på en gång. Om vi gör det för funktionen y = f(x) = x2 så ser det ut så här:
Alltså är f '(x) = 2x, vilket ger oss möjlighet att snabbt beräkna derivatans värde för vilket x som helst, till exempel x = 5: f '(5) = 2 * 5 = 10
Det var ju bra, men nu blir det ännu bättre!
Om vi gör det här för polynomfunktioner (läs här om vad det är för nåt) så upptäcker vi ett mönster. Läs om det i boken på sidan 107 och kolla på exemplen. Detta innebär att i fortsättningen blir det jättelätt att derivera polynomfunktioner. Som tur var så är sådana funktioner dessutom de vanligaste, i alla fall här i skolan ...
För den som känner att det är lite darrigt med förståelsen av derivata har jag ett råd: Häng på det här med deriveringreglerna för polynom och ha inte för mycket ångest över differenskvoten och derivatans definition. När förståelsen för derivata har ökat efter kapitel 3 så går det lättare att titta tillbaka på det här med lite perspektiv.
Att läsa och titta på
Boken sid 105-111
En kort videolektion från mattecentrum finns här.
torsdag 2 december 2010
Vecka 48 - Derivatans definition
Det vi skall ägna oss åt de närmsta veckorna är att hitta derivatan i en viss punkt för en känd funktion.
Exempelvis skall vi kunna svara på frågan vad funktionen f(x) = 3x2 har för lutning när x = 3. Eller med andra ord f '(3).
Här en graf som illustrerar ovanstående:
Tricket går ut på att ställa upp differenskvoten och låta h gå mot noll. Jag skriver inte ner hela proceduren här, men kan påpeka att differenskvoten är gamla vanliga delta-y/delta-x. Det som händer är att man beräknar k-värdet för en sekant och när man låter h (dvs delta-x) gå mot nåll så övergår det till k-värdet för tangenten, dvs derivatan.
Titta här, prova och förstå!
Det kommer att komma "genvägar" för att göra det här lite enklare, och jag kräver inte att alla skall kunna utföra derivering på det här sättet via derivatans definition. Men jag vill ändå att alla skall vara med på grunderna. Dvs att allt bygger på delta-y/delta-x och att delta-x går mot noll, och att man poå det viset hittar tangentens lutning.
Titta gärna på den här filmen där jag löser uppgift 2219b samtidigt som jag kommenterar. Där bestämmer jag derivatan för funktionen f(x) = x2 - 3x när x = -1.
I högermenyn kan ni också hitta skrivna uträkningar för 2219a och 2219b
Att läsa
Boken sid 102-104
Exempelvis skall vi kunna svara på frågan vad funktionen f(x) = 3x2 har för lutning när x = 3. Eller med andra ord f '(3).
Här en graf som illustrerar ovanstående:
Tricket går ut på att ställa upp differenskvoten och låta h gå mot noll. Jag skriver inte ner hela proceduren här, men kan påpeka att differenskvoten är gamla vanliga delta-y/delta-x. Det som händer är att man beräknar k-värdet för en sekant och när man låter h (dvs delta-x) gå mot nåll så övergår det till k-värdet för tangenten, dvs derivatan.
Titta här, prova och förstå!
Det kommer att komma "genvägar" för att göra det här lite enklare, och jag kräver inte att alla skall kunna utföra derivering på det här sättet via derivatans definition. Men jag vill ändå att alla skall vara med på grunderna. Dvs att allt bygger på delta-y/delta-x och att delta-x går mot noll, och att man poå det viset hittar tangentens lutning.
Titta gärna på den här filmen där jag löser uppgift 2219b samtidigt som jag kommenterar. Där bestämmer jag derivatan för funktionen f(x) = x2 - 3x när x = -1.
I högermenyn kan ni också hitta skrivna uträkningar för 2219a och 2219b
Att läsa
Boken sid 102-104
torsdag 25 november 2010
Vecka 47 - Begreppet derivata
Tangentens lutning i en viss punkt kan också kallas funktionens derivata i den punkten. Beroende på vilken funktion det handlar om så kommer derivatans värde att betyda något intressant.
Till exempel så står derivatans värde för en hastighet, om funktionen är en beskrivning av läge eller sträcka.
Om funktionen beskriver en temperatur så står derivatan för hur snabbt temperaturen ändras. Till exempel 3 grader/timme.
Man kan ge många exempel men i grunden handlar det om förändring. Derivatan står för hur stor förändringshastigheten är.
Det finns ett kompakt och bra sätt att skriva om derivatan: - en liten fnutt! (Egentligen heter det "prim".) Exempelvis om vi vill säga "Derivatan av funktionen f(x) har värdet 3 när x = 2" så kan vi istället skriva
f '(2) = 3
Det uttalar vi som "f-prim av två är lika med tre".
Detta är typiskt för språket matematiska, vi kan skriva en svensk mening på ett mycket kompaktare sätt, vilket underlättar bl a för vidare beräkningar. Mycket av vår undervisning här på gymnasiet handlar om att utbilda eleverna i matematiska.
Den här veckan jobbar vi inte med att bestämma derivatan (tangentens lutning) utan bara om vad den betyder. Nästa vecka däremot skall vi se hur vi kan beräkna derivatan för en viss funktion.
Jag har samlat ihop några uppgifter från nationella prov som handlar om just den här veckans kunskapsområden. De som var på lektionen fick ett exemplar, ni andra kan hitta dom här.
Att läsa
Boken sid 98-101
Till exempel så står derivatans värde för en hastighet, om funktionen är en beskrivning av läge eller sträcka.
Om funktionen beskriver en temperatur så står derivatan för hur snabbt temperaturen ändras. Till exempel 3 grader/timme.
Man kan ge många exempel men i grunden handlar det om förändring. Derivatan står för hur stor förändringshastigheten är.
Det finns ett kompakt och bra sätt att skriva om derivatan: - en liten fnutt! (Egentligen heter det "prim".) Exempelvis om vi vill säga "Derivatan av funktionen f(x) har värdet 3 när x = 2" så kan vi istället skriva
f '(2) = 3
Det uttalar vi som "f-prim av två är lika med tre".
Detta är typiskt för språket matematiska, vi kan skriva en svensk mening på ett mycket kompaktare sätt, vilket underlättar bl a för vidare beräkningar. Mycket av vår undervisning här på gymnasiet handlar om att utbilda eleverna i matematiska.
Den här veckan jobbar vi inte med att bestämma derivatan (tangentens lutning) utan bara om vad den betyder. Nästa vecka däremot skall vi se hur vi kan beräkna derivatan för en viss funktion.
Jag har samlat ihop några uppgifter från nationella prov som handlar om just den här veckans kunskapsområden. De som var på lektionen fick ett exemplar, ni andra kan hitta dom här.
Att läsa
Boken sid 98-101
torsdag 18 november 2010
Vecka 46 - Kurvors lutning
Vi börjar med att diskutera hur ett så kallat st-diagram fungerar. Det är ett koordinatsystem där sträckan finns på y-axeln och tiden på x-axeln. Med hjälp av ett sådant kan man beskriva ett föremåls rörelse. Vi intresserar oss särskilt för hur kurvan lutar och om man funderar lite på saken så inser man att ju större lutning en sådan kurva har, ju snabbare rör sig föremålet. Dvs lutningen motsvarar hastigheten.
(Stora delar av C-kursen går ut på att studera sådana lutningar, även om det inte alltid är just st-diagram.)
Bestämma lutningen grafiskt
Vi studerar också hur en tangent till kurvan kan användas för att beräkna lutningens storlek. Om man drar en tangent i en punkt på kurvan så är tangentens k-värde samma som kurvans lutning. Vi gör en övning på just detta där klassen får ut en st-graf och bestämmer en löpares maximala hastighet på detta sätt.
Här är ett annat exempel på samma sak:
Bestämma lutningen algebraiskt
Men hur skall man göra om man vill räkna ut vad lutningen är i en viss punkt, inte rita och mäta. Vi kallar det att algebraiskt bestämma lutningen och här ger vi början till resonemanget.
Antag att vi är ute efter lutningen av kurvan i punkten A, dvs egentligen tangenten i A. Börja då med att dra en sekant mellan A och en annan punkt på kurvan som i figuren (klicka för tydligare bild). Man beräknar k-värdet för sekanten med hjälp av delta-y/delta-x som ni ser.
Hur skall vi då få k-värdet för tangenten? Jo, tricket är att minska delta-x undan för undan vilket gör att sekantens k-värde närmar sig tangentens mer och mer. (I bilden har man också döpt om delta-x till h.)
Klicka här och testa detta!
Att läsa
Boken sidan 91-97
(Stora delar av C-kursen går ut på att studera sådana lutningar, även om det inte alltid är just st-diagram.)
Bestämma lutningen grafiskt
Vi studerar också hur en tangent till kurvan kan användas för att beräkna lutningens storlek. Om man drar en tangent i en punkt på kurvan så är tangentens k-värde samma som kurvans lutning. Vi gör en övning på just detta där klassen får ut en st-graf och bestämmer en löpares maximala hastighet på detta sätt.
Här är ett annat exempel på samma sak:
Bestämma lutningen algebraiskt
Men hur skall man göra om man vill räkna ut vad lutningen är i en viss punkt, inte rita och mäta. Vi kallar det att algebraiskt bestämma lutningen och här ger vi början till resonemanget.
Antag att vi är ute efter lutningen av kurvan i punkten A, dvs egentligen tangenten i A. Börja då med att dra en sekant mellan A och en annan punkt på kurvan som i figuren (klicka för tydligare bild). Man beräknar k-värdet för sekanten med hjälp av delta-y/delta-x som ni ser.
Hur skall vi då få k-värdet för tangenten? Jo, tricket är att minska delta-x undan för undan vilket gör att sekantens k-värde närmar sig tangentens mer och mer. (I bilden har man också döpt om delta-x till h.)
Klicka här och testa detta!
Att läsa
Boken sidan 91-97
torsdag 11 november 2010
Vecka 45 - Hastighet och lutning
Provet
Vi pratar om provet, och alla får se sitt eget förstås.
Nu kommer vi att gå vidare med nästa moment och det är viktigt att man är med på banan från början. Men vi skall ändå inte glömma bort det här, och jag vill att alla skall kunna de viktigaste sakerna från kapitel 1. Därför kommer det att bli en läxa att göra de av provuppgifterna 1-5 som man inte kunde på provet. Gör beräkningarna snyggt på ett papper och lämna in till mig inom två veckor. Ni får ett FirstClass-meddelande om vilka uppgifter jag vill att ni skall göra.
Det blir en liknande manöver om logaritmer och exponentialekvationer senare i december.
Hastighet och lutning
Nu börjar det som kanske är C-kursens huvudnummer, nämligen att vi kommer att studera förändring! Lite oklart beskrivet kanske men det klarnar snart.
Det första vi gör är uppgiften på sidan 85, hastighet och lutning, och det första avsnittet i boken heter genomsnittlig förändringshastighet. Vi kommer alltså först att titta på hur fört saker förändras i genomsnitt under en viss tid. Det kan exempelvis vara temperaturen i en ugn som stiger med 20 grader/minut i genomsnitt under de första 5 minuterna.
Om ett par veckor kommer det istället att handla om hur snabb ökningstakten är vid någon precis tidpunkt.
Den som inte var på lektionen bör göra sidan 85 som hemläxa. Dessutom är det bra om ni gör några av veckans övningsuppgifter också. Och, läs boken vetja! För dig som inte brukar läsa matteboken är det dags att börja. Låt det ta tid, det får ta en timme att läsa tre sidor så att du förstår, men jag lovar att det ger resultat.
Att läsa
Boken sid 85-90
Vi pratar om provet, och alla får se sitt eget förstås.
Nu kommer vi att gå vidare med nästa moment och det är viktigt att man är med på banan från början. Men vi skall ändå inte glömma bort det här, och jag vill att alla skall kunna de viktigaste sakerna från kapitel 1. Därför kommer det att bli en läxa att göra de av provuppgifterna 1-5 som man inte kunde på provet. Gör beräkningarna snyggt på ett papper och lämna in till mig inom två veckor. Ni får ett FirstClass-meddelande om vilka uppgifter jag vill att ni skall göra.
Det blir en liknande manöver om logaritmer och exponentialekvationer senare i december.
Hastighet och lutning
Nu börjar det som kanske är C-kursens huvudnummer, nämligen att vi kommer att studera förändring! Lite oklart beskrivet kanske men det klarnar snart.
Det första vi gör är uppgiften på sidan 85, hastighet och lutning, och det första avsnittet i boken heter genomsnittlig förändringshastighet. Vi kommer alltså först att titta på hur fört saker förändras i genomsnitt under en viss tid. Det kan exempelvis vara temperaturen i en ugn som stiger med 20 grader/minut i genomsnitt under de första 5 minuterna.
Om ett par veckor kommer det istället att handla om hur snabb ökningstakten är vid någon precis tidpunkt.
Den som inte var på lektionen bör göra sidan 85 som hemläxa. Dessutom är det bra om ni gör några av veckans övningsuppgifter också. Och, läs boken vetja! För dig som inte brukar läsa matteboken är det dags att börja. Låt det ta tid, det får ta en timme att läsa tre sidor så att du förstår, men jag lovar att det ger resultat.
Att läsa
Boken sid 85-90
måndag 8 november 2010
fredag 29 oktober 2010
Lösningsförslag till provet
Jag har räknat igenom provet, förhoppningsvis har jag gjort rätt ...
Titta särskilt på det ni inte kunde. Det är ju meningen att hela provhistorien skall vara ett bra tillfälle att lära sig så mycket som möjligt. Det kommer ett antal tillfällen senare i kursen där ni kan visa upp att ni har blivit bättre.
Själva provet hittar ni här.
Mina lösningar finns här.
Titta särskilt på det ni inte kunde. Det är ju meningen att hela provhistorien skall vara ett bra tillfälle att lära sig så mycket som möjligt. Det kommer ett antal tillfällen senare i kursen där ni kan visa upp att ni har blivit bättre.
Själva provet hittar ni här.
Mina lösningar finns här.
torsdag 28 oktober 2010
Vecka 43 - Provet avklarat
Bra jobbat alla som var där!
För det första så kan jag garantera att inga prov är färdigrättade före lovet, men håll utkik här på fredag (imorgon) efter mina lösningar.
Några saker jag vill säga till er som inte tycker att det gick så bra:
Det kommer fler chanser och vi kommer att titta på vad som var svårt och vad som behöver tränas lite mer på. Första lektionen efter lovet skall delvis handla om det här provet och jag kommer att gå igenom det viktigaste. De som inte klarade de viktigaste problemen kommer också att få dom som hemläxa, fast då får man samarbeta. Alla kommer att lära sig det här - jag lovar! ... ööh, kanske ...
För det första så kan jag garantera att inga prov är färdigrättade före lovet, men håll utkik här på fredag (imorgon) efter mina lösningar.
Några saker jag vill säga till er som inte tycker att det gick så bra:
Det kommer fler chanser och vi kommer att titta på vad som var svårt och vad som behöver tränas lite mer på. Första lektionen efter lovet skall delvis handla om det här provet och jag kommer att gå igenom det viktigaste. De som inte klarade de viktigaste problemen kommer också att få dom som hemläxa, fast då får man samarbeta. Alla kommer att lära sig det här - jag lovar! ... ööh, kanske ...
torsdag 21 oktober 2010
Vecka 42 - Logaritmlagarna
Precis som det finns potenslagar så finns det också logaritmlagar. Logaritmer är ju exponenter egentligen och potenslagarna handlar om exponenter så logaritmlagarna är helt enkelt en följd av potenslagarna. Titta i den här tabellen hur lagarna liknar varandra: (Klicka gärna på bilden så blir det tydligare.)
Härledning av den första logaritmlagen finns i boken och de andra härleds på liknande sätt.
Vi lär oss också ett sätt att använda logaritmer som hjälper oss att lösa exponentialekvationer, dvs ekvationer med x i exponenten. Till exempel 2x = 3. Tricket är att logaritmera båda sidorna. Så här:
Nedan jämförs ett par typiska problem med potensekvationer och exponentialekvationer: (klicka för bättre bild)
Att läsa
Boken sid 61-71
torsdag 14 oktober 2010
SNART PROV!
Snart är det dax för prov, det blir roligt. Det finns ett antal syften med att ha prov och just det här provet skall vi främst ha av följande skäl:
1 - Ett lärtillfälle. Det är nyttigt med en lång stund matte där man bara sitter och grubblar och jobbar för sig själv. Dessutom kommer en del av problemen vara formulerade så att de leder till ny eller stärkt kunskap.
2 - Ett diagnostiskt tillfälle. Det är viktigt både för eleven och läraren att se hur det går i studierna, vem det går bra för och vem det går mindre bra för. Måste man ändra nåt?
3 - En blåslampa i häcken. Det kan alla behöva ibland, så att man får nåt gjort. En anledning att plugga lite hårdare och kanske komma ikapp.
Det här provet kommer dock inte att användas för betygsättning alls. Det är de sista proven i mars/april/maj kommer att bestämma den saken. (Men jag kan nästan garantera att den som gör ett bra resultat nu också får ett bra betyg i vår, men det är en annan sak ...)
En viktig sak till. Vid det här provet får ni ha med egna anteckningar. Men bara egna anteckningar, inga kopior alltså.
1 - Ett lärtillfälle. Det är nyttigt med en lång stund matte där man bara sitter och grubblar och jobbar för sig själv. Dessutom kommer en del av problemen vara formulerade så att de leder till ny eller stärkt kunskap.
2 - Ett diagnostiskt tillfälle. Det är viktigt både för eleven och läraren att se hur det går i studierna, vem det går bra för och vem det går mindre bra för. Måste man ändra nåt?
3 - En blåslampa i häcken. Det kan alla behöva ibland, så att man får nåt gjort. En anledning att plugga lite hårdare och kanske komma ikapp.
Det här provet kommer dock inte att användas för betygsättning alls. Det är de sista proven i mars/april/maj kommer att bestämma den saken. (Men jag kan nästan garantera att den som gör ett bra resultat nu också får ett bra betyg i vår, men det är en annan sak ...)
En viktig sak till. Vid det här provet får ni ha med egna anteckningar. Men bara egna anteckningar, inga kopior alltså.
Vecka 41 - Logaritmer
Nytt begrepp - logaritm!
Antag att man vill skriva ett tal, till exempel 73, med basen 10. Vad blir exponenten då? Vi kallar exponenten för logaritmen av 73.
För att ta reda på vad den är får man kolla i en tabell eller slå på sin räknare. I vårt fall får man då att logaritmen för 73 är ungefär 1,86, eller skrivet på ett annat sätt: log(73) = 1,86
Dvs 101,86 blir 73.
För att få lite övning och bra förståelse för begreppet så jobbade klassen med tabeller istället för miniräknare till att börja med. Det är dock inget man måste göra om man missade det.
Vi gick dock inte igenom logaritmlagarna, vilket vi egentligen skulle gjort enligt planeringen. Dessa lagar är egentligen potenslagarna fast anpassade för logaritmer. Mer om det nästa vecka.
Att läsa
Boken sid 61-63
Mattecentrums kapitel om logaritmer
Antag att man vill skriva ett tal, till exempel 73, med basen 10. Vad blir exponenten då? Vi kallar exponenten för logaritmen av 73.
För att ta reda på vad den är får man kolla i en tabell eller slå på sin räknare. I vårt fall får man då att logaritmen för 73 är ungefär 1,86, eller skrivet på ett annat sätt: log(73) = 1,86
Dvs 101,86 blir 73.
För att få lite övning och bra förståelse för begreppet så jobbade klassen med tabeller istället för miniräknare till att börja med. Det är dock inget man måste göra om man missade det.
Vi gick dock inte igenom logaritmlagarna, vilket vi egentligen skulle gjort enligt planeringen. Dessa lagar är egentligen potenslagarna fast anpassade för logaritmer. Mer om det nästa vecka.
Att läsa
Boken sid 61-63
Mattecentrums kapitel om logaritmer
onsdag 6 oktober 2010
Vecka 40 - potenslagarna och potensekvationer
Idag har det handlat om potenslagarna och potensekvationer.
Här en tabell med potenslagarna samt ett exempel på varje:
Viktigt att förstå det här. Vi tog också upp varför varje lag ser ut som den gör.
Vi pratar också om hur man skall tolka till exempel 5 upphöjt till 1/3. Det står beskrivet i boken på sid 57. En vanlig och viktig sak att kunna är att upphöjt till 1/2 är samma sak som roten ur.
En potensekvation är en ekvation där x (den obekanta) finns i basen av en potens. Till exempel:
Den löser man så här:
Att läsa och titta på
Boken sidorna 53-60
Här en tabell med potenslagarna samt ett exempel på varje:
Vi pratar också om hur man skall tolka till exempel 5 upphöjt till 1/3. Det står beskrivet i boken på sid 57. En vanlig och viktig sak att kunna är att upphöjt till 1/2 är samma sak som roten ur.
En potensekvation är en ekvation där x (den obekanta) finns i basen av en potens. Till exempel:
Att läsa och titta på
Boken sidorna 53-60
Nedan två klipp från en lärare på Math-TV. Han visar lite hur man räknar med potenslagarna. (Han är amerikan så det kan vara lite svårt ibland att förstå allt vad han säger, men det är ju inte hans fel ...)
Filmen om potensfunktioner och exponentialfunktioner (samma som förra veckan) är bratorsdag 30 september 2010
Läxa till vecka 40
Dax för en läxa igen!
Det är aktiviteten potenser på sidan 53. Syftet med en sådan här läxa är att ni skall fundera på, och jobba med ämnet lite grann i förväg. På så vis kommer lärandet under lektionen att bli bättre.
Det är meningen att man skall kunna göra den här övningen utan att ha gått igenom något om potenser. Kanske blir det svårt ändå men gör så mycket ni kan. Fråga gärna varandra också.
Det är aktiviteten potenser på sidan 53. Syftet med en sådan här läxa är att ni skall fundera på, och jobba med ämnet lite grann i förväg. På så vis kommer lärandet under lektionen att bli bättre.
Det är meningen att man skall kunna göra den här övningen utan att ha gått igenom något om potenser. Kanske blir det svårt ändå men gör så mycket ni kan. Fråga gärna varandra också.
onsdag 29 september 2010
Vecka 39 - exponentialfunktioner
Idag handlar det om exponentialfunktioner samt något om grafiska lösningsmetoder. Se sidorna 46-52.
Exponentialfunktioner
En exponentialfunktion har den oberoende variabeln (oftast x) uppe i exponenten - logiskt, eller hur?
Exemplet med en stad på 50000 invånare som växer med 2 % per år är ett typiskt exempel på en exponentialfunktion. Om y är antalet invånare ett visst år, och x är antalet år som gått sen det året så blir funktionen så här:
y = 50000*1,02x
Förklaring till att funktionen blir på det viset:
Förändringsfaktorn är 1,02 om man har en tvåprocentig ökning och
efter ett år har staden alltså 50000*1,02 invånare.
Efter två år har staden 50000*1,02*1,02 = 50000*1,022 invånare.
Efter tre år har staden 50000*1,02*1,02*1,02 = 50000*1,023 invånare.
Efter x år har staden 50000*1,02x invånare.
Grafiska lösningsmetoder
Det här handlar om hur man kan lösa ekvationer grafiskt.
I boken på sidan 49 finns två exempel. Det ena handlar om ett ekvationssystem, dvs två ekvationer och två obekanta. (Tas upp i B-kursen.) Det grafiska tricket då är att lösa ut y ur båda ekvationerna och rita upp dom som två linjer. Lösningen hittar man där dom skär varandra.
Det andra exemplet är en ekvation med en obekant x. Ett smart sätt är att tänka sig att vänstra ledet (VL) i ekvationen är en funktion och det högra ledet (HL) är en annan. Ritar man upp dessa båda funktioner så är dom ju lika där skärningspunkten är. Eftersom lösningen på ekvationen är det x där VL och HL är lika så ger skärningspunkten också vår lösning.
Att läsa och titta på
Boken sid 46-52
En film där jag löser uppgifterna 1360, 1362 och 1364 hittas här.
Betsy från MathTV ritar upp funktionen y = 2x här, och y = (1/3)x här.
Nedan ett klipp om potensfunktioner och exponentialfunktioner samt lite om förändringsfaktor. (Potensfunktioner är funktioner där x är där "nere", tex y = x3)
Titta på den, den är bra.
Exponentialfunktioner
En exponentialfunktion har den oberoende variabeln (oftast x) uppe i exponenten - logiskt, eller hur?
Exemplet med en stad på 50000 invånare som växer med 2 % per år är ett typiskt exempel på en exponentialfunktion. Om y är antalet invånare ett visst år, och x är antalet år som gått sen det året så blir funktionen så här:
y = 50000*1,02x
Förklaring till att funktionen blir på det viset:
Förändringsfaktorn är 1,02 om man har en tvåprocentig ökning och
efter ett år har staden alltså 50000*1,02 invånare.
Efter två år har staden 50000*1,02*1,02 = 50000*1,022 invånare.
Efter tre år har staden 50000*1,02*1,02*1,02 = 50000*1,023 invånare.
Efter x år har staden 50000*1,02x invånare.
Grafiska lösningsmetoder
Det här handlar om hur man kan lösa ekvationer grafiskt.
I boken på sidan 49 finns två exempel. Det ena handlar om ett ekvationssystem, dvs två ekvationer och två obekanta. (Tas upp i B-kursen.) Det grafiska tricket då är att lösa ut y ur båda ekvationerna och rita upp dom som två linjer. Lösningen hittar man där dom skär varandra.
Det andra exemplet är en ekvation med en obekant x. Ett smart sätt är att tänka sig att vänstra ledet (VL) i ekvationen är en funktion och det högra ledet (HL) är en annan. Ritar man upp dessa båda funktioner så är dom ju lika där skärningspunkten är. Eftersom lösningen på ekvationen är det x där VL och HL är lika så ger skärningspunkten också vår lösning.
Att läsa och titta på
Boken sid 46-52
En film där jag löser uppgifterna 1360, 1362 och 1364 hittas här.
Betsy från MathTV ritar upp funktionen y = 2x här, och y = (1/3)x här.
Nedan ett klipp om potensfunktioner och exponentialfunktioner samt lite om förändringsfaktor. (Potensfunktioner är funktioner där x är där "nere", tex y = x3)
Titta på den, den är bra.
torsdag 23 september 2010
Vecka 38 - Om funktioner
Allmänt om funktioner. Lite om vad det är för något och om orden
definitionsmängd
värdemängd
oberoende variabel
beroende variabel
Det handlar också om skrivsättet f(x) och om fyra olika sätt att beskriva en funktion:
1. formel
2. tabell
3. graf/diagram
4. med ord
Vi går vidare med linjära funktioner (förstagrads-) och andragradsfunktioner. Det är saker från B-kursen, men viktigt att repetera.
Att läsa och titta på
Boken sid 32-45
Presentationen på tavlan om funktioner hittar du här.
Ett klipp från math-tv om skrivsättet f(x)
skrivsättet f(x) = "function notation"
definitionsmängd = domain
värdemängd = range
lutning = slope
definitionsmängd
värdemängd
oberoende variabel
beroende variabel
Det handlar också om skrivsättet f(x) och om fyra olika sätt att beskriva en funktion:
1. formel
2. tabell
3. graf/diagram
4. med ord
Vi går vidare med linjära funktioner (förstagrads-) och andragradsfunktioner. Det är saker från B-kursen, men viktigt att repetera.
Att läsa och titta på
Boken sid 32-45
Presentationen på tavlan om funktioner hittar du här.
Ett klipp från math-tv om skrivsättet f(x)
skrivsättet f(x) = "function notation"
definitionsmängd = domain
värdemängd = range
lutning = slope
Presented by MathTV.com |
fredag 17 september 2010
Läxa till v38 - webbquiz 1
Följ länken, svara på frågorna och tryck "skicka" efter sista frågan.
Busenkelt!
onsdag 15 september 2010
Vecka 37 - Rationella uttryck
Ett rationell tal är ett sådant tal som kan skrivas som a/b, tex 3/5, -12/7 och 5 (5 kan ju skrivas som 5/1). Vi har lärt oss att räkna med sådana tal (bråkräkning).
Hur adderar, subtraherar, multiplicerar och dividerar man såna? Man gör faktiskt på precis samma sätt som med talen! Gemensam nämnare vid addition och subtraktion och så vidare.
Vi tar också upp att sådana här rationella uttryck får problem om nämnaren blir noll, man kan ju inte dividera med noll! Om nämnaren blir noll för ett visst x-värde så säger man att uttrycket inte är definierat för just det x-värdet. I exemplet ovan är uttrycket inte definierat för x = 3 och x = -3
Att läsa
Boken sid 19-31
Att titta på
Vi skall stifta bekantskap med min favoritlärare på nätet. Han heter Mr. McKeague och är amerikan vilket förstås är synd för oss, men det kan ju inte han hjälpa ... Det kanske är ovant med engelskan men matten är densamma för det mesta och jag skall ge er några tips och översättningar. Dessutom tror jag att det är lärorikt att det är engelska. Många av er kommer att få undervisning på engelska om ni börjar på högskolan.
Första filmen handlar om hur man kan förenkla ett rationellt uttryck genom att förkorta. Men innan man kan göra det så måste man faktorisera täljaren och i det här fallet används konjugatregeln.
Några ord: numerator=täljare, denominator=nämnare, factor=faktorisera)
Här visar han multiplikation av två rationella uttryck och gör sen en del förkortningar.
Mc Keagues kollega Molly visar här hur man gör för att subtrahera genom att hitta en gemensam nämnare.
- Man kan förlänga eller förkorta bråket genom att multiplicera resp dividera både täljare och nämnare med samma tal.
- När man adderar och subtraherar så söker man gemensam nämnare.
- Vid multiplikation kan man bara multiplicera täljarna för sig och nämnarna för sig.
- Vid division "vänder" (inverterar) man på talet som står under divisionsstrecket och multiplicerar sen talen.
Vi tar också upp att sådana här rationella uttryck får problem om nämnaren blir noll, man kan ju inte dividera med noll! Om nämnaren blir noll för ett visst x-värde så säger man att uttrycket inte är definierat för just det x-värdet. I exemplet ovan är uttrycket inte definierat för x = 3 och x = -3
Att läsa
Boken sid 19-31
Att titta på
Vi skall stifta bekantskap med min favoritlärare på nätet. Han heter Mr. McKeague och är amerikan vilket förstås är synd för oss, men det kan ju inte han hjälpa ... Det kanske är ovant med engelskan men matten är densamma för det mesta och jag skall ge er några tips och översättningar. Dessutom tror jag att det är lärorikt att det är engelska. Många av er kommer att få undervisning på engelska om ni börjar på högskolan.
Första filmen handlar om hur man kan förenkla ett rationellt uttryck genom att förkorta. Men innan man kan göra det så måste man faktorisera täljaren och i det här fallet används konjugatregeln.
Några ord: numerator=täljare, denominator=nämnare, factor=faktorisera)
Presented by MathTV.com |
Här visar han multiplikation av två rationella uttryck och gör sen en del förkortningar.
Presented by MathTV.com |
Mc Keagues kollega Molly visar här hur man gör för att subtrahera genom att hitta en gemensam nämnare.
Presented by MathTV.com |
torsdag 9 september 2010
Vecka 36 - faktorisera och ekvationer
Faktorisering
Vad betyder faktorisera egentligen? Jo det handlar om att man skriver om ett uttryck så att det blir "någonting gånger någonting".
Exempelvis kan vi titta på 6x2 + 15x. Om vi bryter ut faktorn 3x så blir det 3x(2x + 15)
dvs 3x gånger (2x + 15). Två faktorer alltså.
I en del av övningsuppgifterna skall man faktorisera med hjälp av konjugat- och kvadreringsreglerna "baklänges". Det kan vara lite svårt ibland, särskilt kvadreringsreglerna kanske. Därför är det ingen katastrof om du inte får rätsida på den typen av problem.
Om man ser en kvadrat minus en annan kvadrat, så skall man tänka att här kan jag använda konjugatregeln. Exempelvis 4x2 - 25 är faktiskt en kvadrat minus en annan. 4x2 är ju (2x)2 och 25 är 52 så alltihopa blir (2x - 5)(2x + 5). Faktoriserat och klart!
Ekvationer
Vi pratar lite om grundtankar när man löser ekvationer och först nämner jag "övertäckningsmetoden", men här skall vi mest använda det andra sättet:
Gör vad du vill med en ekvation, bara du gör samma sak på båda sidor!
Vi tittar särskilt på ett trick man kan använda när man har en faktoriserad ekvation, dvs
någonting gånger någonting som bli noll.
Då kan man använda "nollproduktmetoden". Tanken är att om en produkt skall bli noll, så måste minst en av faktorerna vara noll. Tänk på detta ett tag så att du förstår och håller med!
Till exempel kan vi ha ekvationen x(x + 5) = 0. Då måste antingen
x = 0 eller x + 5 =
x = -5
Två rötter till ekvationen alltså: x=0 oxh x=-5
För ekvationer som inte är faktoriserade från början så kan det vara idé att använda konskaperna från tidigare och se till att den blir det. Därefter kan man använda nollproduktmetoden.
Observera att det inte går att faktorisera alla ekvationer och om det är en andragradsekvation så kanske "pq-formeln" kan bli aktuell.
Att läsa och titta på
Boken sid 13-19
Ett klipp där en kille visar hur man kan tänka när man faktoriserar andragradspolynom. (Lite ett alternativ till att använda kvadreringsregeln)
Här visar han hur man använder detta för att
lösa en andragradsekvation med hjälp av faktorisering och nollproduktmetoden
Vad betyder faktorisera egentligen? Jo det handlar om att man skriver om ett uttryck så att det blir "någonting gånger någonting".
Exempelvis kan vi titta på 6x2 + 15x. Om vi bryter ut faktorn 3x så blir det 3x(2x + 15)
dvs 3x gånger (2x + 15). Två faktorer alltså.
I en del av övningsuppgifterna skall man faktorisera med hjälp av konjugat- och kvadreringsreglerna "baklänges". Det kan vara lite svårt ibland, särskilt kvadreringsreglerna kanske. Därför är det ingen katastrof om du inte får rätsida på den typen av problem.
Om man ser en kvadrat minus en annan kvadrat, så skall man tänka att här kan jag använda konjugatregeln. Exempelvis 4x2 - 25 är faktiskt en kvadrat minus en annan. 4x2 är ju (2x)2 och 25 är 52 så alltihopa blir (2x - 5)(2x + 5). Faktoriserat och klart!
Ekvationer
Vi pratar lite om grundtankar när man löser ekvationer och först nämner jag "övertäckningsmetoden", men här skall vi mest använda det andra sättet:
Gör vad du vill med en ekvation, bara du gör samma sak på båda sidor!
Vi tittar särskilt på ett trick man kan använda när man har en faktoriserad ekvation, dvs
någonting gånger någonting som bli noll.
Då kan man använda "nollproduktmetoden". Tanken är att om en produkt skall bli noll, så måste minst en av faktorerna vara noll. Tänk på detta ett tag så att du förstår och håller med!
Till exempel kan vi ha ekvationen x(x + 5) = 0. Då måste antingen
x = 0 eller x + 5 =
x = -5
Två rötter till ekvationen alltså: x=0 oxh x=-5
För ekvationer som inte är faktoriserade från början så kan det vara idé att använda konskaperna från tidigare och se till att den blir det. Därefter kan man använda nollproduktmetoden.
Observera att det inte går att faktorisera alla ekvationer och om det är en andragradsekvation så kanske "pq-formeln" kan bli aktuell.
Att läsa och titta på
Boken sid 13-19
Ett klipp där en kille visar hur man kan tänka när man faktoriserar andragradspolynom. (Lite ett alternativ till att använda kvadreringsregeln)
Här visar han hur man använder detta för att
lösa en andragradsekvation med hjälp av faktorisering och nollproduktmetoden
Ytterligare en liten film om nollproduktmetoden:
onsdag 1 september 2010
Vecka 35 - första lektionen
Första lektionen! äntligen är vi igång.
Den här kursen kan man om man vill följa via den här bloggen, men det är inte ett måste. Boken heter matematik 4000 grön och vi kommer att följa den ganska exakt. Snart kommer en planering över hela läsåret där också rekommenderade övningsuppgifter finns med, för den som gillar att "pricka av" allt efter man jobbar sig framåt.
Under lektionen tipsade jag om några av länkarna på matteileksand.se och jag kommer att återkomma till dom och länka till olika bra saker under hela kursen.
Några i gruppen kommer att ha lite annat upplägg och vi kommer att tillsammans fixa särskilda planeringar för er.
Dagens matematik
Det första vi gjorde var den "inledande aktiviteten" på sidan 7. Vi börjar sen jobba med kapitel 1 - Algebra och funktioner, som till viss del är repetition men det är viktigt att kunna "språket" om man skall lära sig nya saker. Rekommenderade uppgifter för första lektionen är 1104, 1106, 1107, 1108, 1109 samt om man vill 1115, 1118 och 1119.
Nästa veckas lektion kommer att handla om faktorisering och ekvationer.
Att läsa och titta på
Boken sidorna 8-12
Den här kursen kan man om man vill följa via den här bloggen, men det är inte ett måste. Boken heter matematik 4000 grön och vi kommer att följa den ganska exakt. Snart kommer en planering över hela läsåret där också rekommenderade övningsuppgifter finns med, för den som gillar att "pricka av" allt efter man jobbar sig framåt.
Under lektionen tipsade jag om några av länkarna på matteileksand.se och jag kommer att återkomma till dom och länka till olika bra saker under hela kursen.
Några i gruppen kommer att ha lite annat upplägg och vi kommer att tillsammans fixa särskilda planeringar för er.
Dagens matematik
Det första vi gjorde var den "inledande aktiviteten" på sidan 7. Vi börjar sen jobba med kapitel 1 - Algebra och funktioner, som till viss del är repetition men det är viktigt att kunna "språket" om man skall lära sig nya saker. Rekommenderade uppgifter för första lektionen är 1104, 1106, 1107, 1108, 1109 samt om man vill 1115, 1118 och 1119.
Nästa veckas lektion kommer att handla om faktorisering och ekvationer.
Att läsa och titta på
Boken sidorna 8-12
Prenumerera på:
Inlägg (Atom)